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Dans ce cours d'algèbre linéaire, nous verrons ce qu'est l'algèbre linéaire et comment elle se rapporte aux vecteurs et aux matrices. Ensuite, nous discutons de ce que sont les vecteurs et des matrices et comment travailler avec eux, y compris le problème délicat des valeurs propres et des vecteurs propres, et comment les utiliser pour résoudre des problèmes. Enfin, nous verrons comment les utiliser pour faire des choses amusantes avec des ensembles de données, comme comment faire pivoter des images de visages et comment extraire des vecteurs propres pour voir comment fonctionne l'algorithme Pagerank. Puisque nous pointons vers data-d
Dans ce cours d'algèbre linéaire, nous verrons ce qu'est l'algèbre linéaire et comment elle se rapporte aux vecteurs et aux matrices.
Ensuite, nous discutons de ce que sont les vecteurs et des matrices et comment travailler avec eux, y compris le problème délicat des valeurs propres et des vecteurs propres, et comment les utiliser pour résoudre des problèmes.
Enfin, nous verrons comment les utiliser pour faire des choses amusantes avec des ensembles de données, comme comment faire pivoter des images de visages et comment extraire des vecteurs propres pour voir comment fonctionne l'algorithme Pagerank.
Étant donné que notre objectif est les applications basées sur les données, nous mettrons en œuvre certaines de ces idées dans le code, pas seulement au crayon et au papier.
Vers la fin du cours, vous écrirez des blocs de code et trouverez des cahiers Jupyter en Python, mais ne vous inquiétez pas, ceux-ci seront assez courts, se concentreront sur les concepts et vous guideront si vous n'avez jamais codé auparavant.
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Dans ce premier module, nous discutons de la pertinence de l'algèbre linéaire pour l'apprentissage automatique et la science des données. Ensuite, nous terminerons le module par une introduction initiale aux vecteurs. En tout temps, nous nous concentrons sur le développement de votre intuition mathématique, et non sur le travail sur l'algèbre ou sur de longs exemples avec un crayon et du papier. Pour bon nombre de ces opérations, il existe des fonctions appelables en Python qui peuvent faire l'addition ; le but est d'apprécier ce qu'ils font et comment ils fonctionnent afin que, lorsque les choses tournent mal ou qu'il y ait des cas particuliers, vous puissiez comprendre pourquoi et quoi faire.
Dans ce module, nous examinons les opérations que nous pouvons effectuer avec les vecteurs : trouver le module (taille), l'angle entre les vecteurs (point ou produit scalaire) et les projections d'un vecteur sur un autre. Nous pouvons alors examiner comment les entrées décrivant un vecteur dépendront des vecteurs que nous utilisons pour définir les axes : la base. Cela nous permettra ensuite de déterminer si un ensemble proposé de vecteurs de base est ce que l'on appelle "linéairement indépendant". Cela complètera notre examen des vecteurs, nous permettant de passer aux matrices dans le module 3, puis de commencer à résoudre des problèmes d'algèbre linéaire.
Maintenant que nous avons vu les vecteurs, nous pouvons passer aux matrices. Dans un premier temps, nous verrons comment utiliser les matrices comme outils de résolution de problèmes d'algèbre linéaire et comme objets transformant des vecteurs. Nous examinons ensuite comment résoudre des systèmes d'équations linéaires à l'aide de matrices, ce qui nous amène ensuite à examiner les matrices inverses et les déterminants, et à réfléchir à ce qu'est réellement le déterminant, intuitivement parlant. Enfin, nous verrons des cas de matrices spéciales qui signifient que le déterminant est nul ou où la matrice n'est pas inversible, cas dans lesquels les algorithmes qui ont besoin d'inverser une matrice échoueront.
Dans le module 3, nous poursuivons notre discussion sur les tableaux ; Nous avons d'abord réfléchi à la façon d'encoder la multiplication matricielle et les opérations matricielles à l'aide de la convention d'addition d'Einstein, qui est une notation largement utilisée dans les cours d'algèbre linéaire plus avancés. Ensuite, nous regardons comment les matrices peuvent transformer une description d'un vecteur d'une base (ensemble d'axes) à une autre. Cela nous permettra par exemple de découvrir comment appliquer un reflet à une image et manipuler des images. Nous verrons également comment construire un ensemble de vecteurs de base commode pour effectuer de telles transformations. Nous écrirons ensuite du code pour effectuer ces transformations et appliquerons ce travail par calcul.
Les vecteurs propres sont des vecteurs particuliers qui ne sont pas tournés par une matrice de transformation, et les valeurs propres sont la quantité dont les vecteurs propres sont étirés. Ces « choses propres » spéciales sont très utiles en algèbre linéaire et nous permettront d'examiner le célèbre algorithme PageRank de Google pour le rendu des résultats de recherche sur le Web. Nous appliquerons ensuite cela dans le code, ce qui clôturera le cours.
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